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  3. 证明：函数f(x)=，x∈(0，+∞)在任何点x0∈(0，+∞)处f(x)不存在，但f(x)=0．

证明：函数f(x)=，x∈(0，+∞)在任何点x0∈(0，+∞)处f(x)不存在，但f(x)=0．

admin2022-10-31  48
问题 证明：函数f(x)=，x∈(0，+∞)在任何点x0∈(0，+∞)处f(x)不存在，但f(x)=0．
选项
答案对[*]x0∈(0，+∞)，要证：对[*]A∈R，[*] 若A=0，取ε0=x0／2(＞0)，对[*]δ＞0(δ＜x0)．由实数的稠密性，存在有理数x’∈U+0(x0；δ)，使得｜f(x’)-0｜=｜x’｜≥x0／2=ε0． 若A≠0，取ε0=｜A｜／2(＞0)，对[*]δ＞0(δ＜x0)，存在无理数x”∈U+0(x0；δ)，使得｜f(x”)-A｜=｜A｜＞｜A｜／2=ε0．于是[*]f(x)不存在． 但对[*]ε＞0，取δ=ε，则当0＜x＜δ时有｜f(x)-0=｜f(x)｜≤｜x｜＜δ=ε．所以[*]
解析
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考研数学三

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