证明：函数f(x)=，x∈(0，+∞)在任何点x0∈(0，+∞)处f(x)不存在，但f(x)=0．

admin2022-10-31 67

问题证明：函数f(x)=

，x∈(0，+∞)在任何点x₀∈(0，+∞)处

f(x)不存在，但

f(x)=0．

选项

答案对[*]x₀∈(0，+∞)，要证：对[*]A∈R，[*] 若A=0，取ε₀=x₀／2(＞0)，对[*]δ＞0(δ＜x₀)．由实数的稠密性，存在有理数x’∈U₊⁰(x₀；δ)，使得｜f(x’)-0｜=｜x’｜≥x₀／2=ε₀．若A≠0，取ε₀=｜A｜／2(＞0)，对[*]δ＞0(δ＜x₀)，存在无理数x”∈U₊⁰(x₀；δ)，使得｜f(x”)-A｜=｜A｜＞｜A｜／2=ε₀．于是[*]f(x)不存在．但对[*]ε＞0，取δ=ε，则当0＜x＜δ时有｜f(x)-0=｜f(x)｜≤｜x｜＜δ=ε．所以[*]

解析

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考研数学三

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