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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ε∈(0,η),使得fˊ(ε)-λ[f(ε)-ε]=1
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ε∈(0,η),使得fˊ(ε)-λ[f(ε)-ε]=1
admin
2012-01-29
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问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η;
(2)对任意实数λ,必存在ε∈(0,η),使得fˊ(ε)-λ[f(ε)-ε]=1
选项
答案
证:(1)令φ(x)=f(x)-x,则φ(x)在[0,1]上连续,又φ(1)=-1<0,φ(1/2)=1/2>0,故由闭区间上连续函数的介值定理知,存在η∈(1/2,1),使得φ(η)=f(η)-η=0,即f(η)=η. (2)设F(x)=e
-λ
φ(x)=e
-λx
[f(x)-x],则F(x)在[0,η]上连续,在(x,η)内可导,且 F(0)=0,F(η)=e
-λη
φ(η)=0 即F(x)在[x,η]上满足罗尔定理的条件,故存在ε∈(x,η),使得 Fˊ(ε)=0,即e
-λε
{fˊ(ε)-λ[f(ε)-ε]-1}=0 从而fˊ(ε)-λ[fˊ(ε)-ε]=1
解析
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考研数学二
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