2. 考研
  3. 已知二次型 f(x1，x2，x3)＝x21＋ax22＋x33＋2bx1x2＋2x1x3＋2x2x3， 可通过正交变换化为f＝y21＋4y22。 (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a，b的值； (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P；

已知二次型 f(x1，x2，x3)＝x21＋ax22＋x33＋2bx1x2＋2x1x3＋2x2x3， 可通过正交变换化为f＝y21＋4y22。 (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a，b的值； (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P；

admin2020-05-16  100
问题 已知二次型
    f(x1，x2，x3)＝x21＋ax22＋x33＋2bx1x2＋2x1x3＋2x2x3，
可通过正交变换化为f＝y21＋4y22。
    (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a，b的值；
    (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P；
    (Ⅲ)设矩阵B＝(kE＋A)2，求对角阵Λ，使得矩阵B和Λ相似，并求k为何值时，矩阵B为正定矩阵。
选项
答案(Ⅰ)二次型矩阵为[*]，由于二次型可正交变换为f＝y21＋4y22，因此矩阵A的特征值分别λ1＝0，λ2＝1，λ2＝4。可得方程组 [*] 解得a＝3，b＝1。 (Ⅱ)根据上一问可知 [*] λ＝0时，解方程组(OE－A)x＝0，得对应于特征值0的特征向量为α1＝(－1，0，1)T； λ＝1时，解方程组(E－A)x＝0，得对应于特征值1的特征向量为α2＝(1，－1，1)T； λ＝4时，解方程组(4E－A)x＝0，得对应于特征值4的特征向量为α3＝(1，2，1)T。 三个特征向量分别单位化为 [*] 将f正交化所使用的正交矩阵 [*] (Ⅲ)因为PTTAP＝Λ，所以A＝PΛPT，则 B＝(kE＋PΛPT)2＝[P(kE＋Λ)PT]2＝P(kE＋Λ)2PT [*] 当同时满足k≠0，k≠－1，k≠－4时，矩阵B为正定矩阵。
解析 本题考查二次型的对角化、正定矩阵的定义。第(Ⅰ)问利用矩阵的特征值之和等于矩阵对角元素的和，矩阵特征值之积等于矩阵的行列式，以此求出a，b的值；第(Ⅱ)问直接求矩阵A的特征向量并单位化即可求出正交矩阵P；第(Ⅲ)三问利用正定矩阵的定义，只要满足对角矩阵的元素均大于零即可。
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考研数学三

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