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已知二次型 f(x1,x2,x3)=x21+ax22+x33+2bx1x2+2x1x3+2x2x3, 可通过正交变换化为f=y21+4y22。 (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a,b的值; (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P;
已知二次型 f(x1,x2,x3)=x21+ax22+x33+2bx1x2+2x1x3+2x2x3, 可通过正交变换化为f=y21+4y22。 (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a,b的值; (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P;
admin
2020-05-16
68
问题
已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
+ax
2
2
+x
3
3
+2bx
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
,
可通过正交变换化为f=y
2
1
+4y
2
2
。
(Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a,b的值;
(Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P;
(Ⅲ)设矩阵B=(kE+A)
2
,求对角阵Λ,使得矩阵B和Λ相似,并求k为何值时,矩阵B为正定矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)二次型矩阵为[*],由于二次型可正交变换为f=y
2
1
+4y
2
2
,因此矩阵A的特征值分别λ
1
=0,λ
2
=1,λ
2
=4。可得方程组 [*] 解得a=3,b=1。 (Ⅱ)根据上一问可知 [*] λ=0时,解方程组(OE-A)x=0,得对应于特征值0的特征向量为α
1
=(-1,0,1)
T
; λ=1时,解方程组(E-A)x=0,得对应于特征值1的特征向量为α
2
=(1,-1,1)
T
; λ=4时,解方程组(4E-A)x=0,得对应于特征值4的特征向量为α
3
=(1,2,1)
T
。 三个特征向量分别单位化为 [*] 将f正交化所使用的正交矩阵 [*] (Ⅲ)因为P
T
TAP=Λ,所以A=PΛP
T
,则 B=(kE+PΛP
T
)
2
=[P(kE+Λ)P
T
]
2
=P(kE+Λ)
2
P
T
[*] 当同时满足k≠0,k≠-1,k≠-4时,矩阵B为正定矩阵。
解析
本题考查二次型的对角化、正定矩阵的定义。第(Ⅰ)问利用矩阵的特征值之和等于矩阵对角元素的和,矩阵特征值之积等于矩阵的行列式,以此求出a,b的值;第(Ⅱ)问直接求矩阵A的特征向量并单位化即可求出正交矩阵P;第(Ⅲ)三问利用正定矩阵的定义,只要满足对角矩阵的元素均大于零即可。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zQx4777K
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考研数学三
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