已知二次型 f(x1，x2，x3)＝x21＋ax22＋x33＋2bx1x2＋2x1x3＋2x2x3，可通过正交变换化为f＝y21＋4y22。 (Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a，b的值； (Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P；

admin2020-05-16 66

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)＝x²₁＋ax²₂＋x³₃＋2bx₁x₂＋2x₁x₃＋2x₂x₃，
可通过正交变换化为f＝y²₁＋4y²₂。
(Ⅰ)写出二次型矩阵A并求出a，b的值；
(Ⅱ)写出将f正交化所使用的正交矩阵P；
(Ⅲ)设矩阵B＝(kE＋A)²，求对角阵Λ，使得矩阵B和Λ相似，并求k为何值时，矩阵B为正定矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型矩阵为[*]，由于二次型可正交变换为f＝y²₁＋4y²₂，因此矩阵A的特征值分别λ₁＝0，λ₂＝1，λ₂＝4。可得方程组 [*] 解得a＝3，b＝1。 (Ⅱ)根据上一问可知 [*] λ＝0时，解方程组(OE－A)x＝0，得对应于特征值0的特征向量为α₁＝(－1，0，1)^T； λ＝1时，解方程组(E－A)x＝0，得对应于特征值1的特征向量为α₂＝(1，－1，1)^T； λ＝4时，解方程组(4E－A)x＝0，得对应于特征值4的特征向量为α₃＝(1，2，1)^T。三个特征向量分别单位化为 [*] 将f正交化所使用的正交矩阵 [*] (Ⅲ)因为P^TTAP＝Λ，所以A＝PΛP_T，则 B＝(kE＋PΛP_T)²＝[P(kE＋Λ)P^T]²＝P(kE＋Λ)²P^T [*] 当同时满足k≠0，k≠－1，k≠－4时，矩阵B为正定矩阵。

解析本题考查二次型的对角化、正定矩阵的定义。第(Ⅰ)问利用矩阵的特征值之和等于矩阵对角元素的和，矩阵特征值之积等于矩阵的行列式，以此求出a，b的值；第(Ⅱ)问直接求矩阵A的特征向量并单位化即可求出正交矩阵P；第(Ⅲ)三问利用正定矩阵的定义，只要满足对角矩阵的元素均大于零即可。

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考研数学三

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