试确定常数A,B,C的值,使得 ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3), 其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.

admin2014-07-17  37

问题 试确定常数A,B,C的值,使得
ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),
其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.

选项

答案把ex的带皮亚诺余项的麦克劳林公式 ex=1+x+1/2x2+1/6x3+ox3, 代入经整理可得 ex(1+Bx+Cx2)-(1+Ax)=(1-A+B)x+(1/2+B+C)x2+(1/6+B/2+C)x3+o(x3). 从而使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)成立的充分必要条件是常数A,B,C同时满足1-A+ B=o,1/2+B+C=o与1/6+B/2+C=0,解出即得A=1/3,B=-2/3,C=1/6.

解析
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