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设函数f(x)连续,且满足f(x—t)dt=(x—t)f(t)dt+e-x一1,求f(x).
设函数f(x)连续,且满足f(x—t)dt=(x—t)f(t)dt+e-x一1,求f(x).
admin
2016-03-15
72
问题
设函数f(x)连续,且满足
f(x—t)dt=
(x—t)f(t)dt+e
-x
一1,求f(x).
选项
答案
令u=x—t,则[*]f(x—t)dt=[*]f(u)du. 由题设[*]f(u)du=[*]f(t)dt—[*]tf(t)dt+e
-x
一1, 求导得f(x)=[*]f(t)dt—e
-x
,且f(0)=-1. 因此f’(x)一f(x)=e
-x
, 从而 f(x)=[*] =[*] 由f(0)=一1,得C=一[*],所以f(x)=一[*](e
x
+e
-x
).
解析
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考研数学三
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