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  3. 设f(x)在[﹣π，π]上连续，若F(k)＝∫－ππ[f(x)－kcosnx]2为极小值，则k＝( )

设f(x)在[﹣π，π]上连续，若F(k)＝∫－ππ[f(x)－kcosnx]2为极小值，则k＝( )

admin2022-06-09  2
问题 设f(x)在[﹣π，π]上连续，若F(k)＝∫－ππ[f(x)－kcosnx]2为极小值，则k＝(          )
选项 A、∫－ππf(x)cos nxdx
B、π∫－ππ8f(x)cos nxdx
C、1/π∫－ππcos nxdx
D、2/π∫－ππcos nxdx
答案C
解析 依题设，有
F(k)＝∫－ππ[f(x)]2dx－2k∫－ππ f(x)cos nxdx＋k2∫－ππ cos2nxdx
F(k)关于k求导，有
F’(k)＝-2∫－ππ f(x)cosbxdx＋2k∫－ππcos2nxdx
＝-2∫－ππf(x)cosnxdx+2kπ
令F’(k)＝0，解得k＝1/π∫－ππf(x)cosnxdx，且F’’(k)＝2π＞0，故C正确
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考研数学二

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