设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2,求f(x).

admin2021-11-25 30

问题设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(t－x)dt=－3x+2,求f(x).

选项

答案∫₀^xf(x－t)dt=－∫₀^xf(t－x)d(x－t)=－∫₀^xf(－u)du=∫₀^xf(u)du 则有f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2 因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0代入上式可得f(0)=1 将f’(x)+2f(x)－3∫₀^xf(u)du=－3x+2两边对x求导数得 f"(x)+2f’(x)－3f(x)=－3 其通解为f(x)=C₁e^x+C₂e^-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1.

解析

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