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设f(x)为偶函数,且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2,求f(x).
设f(x)为偶函数,且满足f’(x)+2f(x)-3∫0xf(t-x)dt=-3x+2,求f(x).
admin
2021-11-25
36
问题
设f(x)为偶函数,且满足f’(x)+2f(x)-3∫
0
x
f(t-x)dt=-3x+2,求f(x).
选项
答案
∫
0
x
f(x-t)dt=-∫
0
x
f(t-x)d(x-t)=-∫
0
x
f(-u)du=∫
0
x
f(u)du 则有f’(x)+2f(x)-3∫
0
x
f(u)du=-3x+2 因为f(x)为偶函数,所以f’(x)是奇函数,于是f’(0)=0代入上式可得f(0)=1 将f’(x)+2f(x)-3∫
0
x
f(u)du=-3x+2两边对x求导数得 f"(x)+2f’(x)-3f(x)=-3 其通解为f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-3x
+1,将初始条件代入得f(x)=1.
解析
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0
考研数学二
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