设A= (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

admin2017-01-21  27

问题 设A=
(Ⅰ)求满足Aξ21,A2ξ31的所有向量ξ2,ξ3
(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

选项

答案(Ⅰ)对增广矩阵(A|ξ1)作初等行变换,则 [*] 得Ax=0的基础解系(1,—1,2)T和Ax=ξ1的特解(0,0,1)T。故 ξ2=(0,0,1)T+k(1,—1,2)T,其中k为任意常数。 A2=[*] 对增广矩阵(A21)作初等行变换,有 [*] 得A2x=0的基础解系(—1,1,0)T,(0,0,1)T和A2x=ξ1的特解[*] 故 ξ3=[*]+t1(—1,1,0)T+ t2(0,0,1)T,其中t1,t2为任意常数。 (Ⅱ)因为 |ξ1,ξ2,ξ3|=[*] 所以ξ1,ξ2,ξ3线性无关。

解析
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