已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．

admin2018-10-17 21

问题已知函数y=(x+1)e^x是一阶线性微分方程y^’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y^’’+3y^’+2y=f(x)的通解．

选项

答案据题意的，y^’=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x， f(x)=y^’+2y=(x+2)e^x+2(x+1)e^x=(3x+4)e^x，则下面求微分方程y^’’+3y^’+2y=(3x+4)e^x的通解，特征方程为r²+3r+2=0，求得r₁=一1，r₂=一2，所以y^’’+3y^’+2y=0的通解为y=C₁e^－x+C₂e^－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y^*=(Ax+B)e^x为原方程y^’’+3y^’+2y=(3x+4)e^x的一个特解，则把(y^*)^’=(Ax+A+B)e^x，(y^*)^’’=(Ax+2A+B)e^x代入原方程，并比较系数得A=[*]，B=[*]，所以微分方程y^’’+3y^’+2y=(3x+4)e^x的通解为y=C₁e^－x+C₂e^－2x+[*]e^x．其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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