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  3. 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．

已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．

admin2018-10-17  14
问题 已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．
选项
答案据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex， f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex， 则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解， 特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2， 所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x， 因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=[*]，B=[*]，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+[*]ex． 其中C1，C2为任意常数．
解析
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