若共有两个线性无关的特征向量，则( )．

admin2014-12-07 26

问题若

共有两个线性无关的特征向量，则( )．

选项 A、a=3
B、a≠3
C、a=0
D、a≠0

答案D

解析由|λE-A|=0，即

=(λ-2)(λ-3)2=0，求得A的三个特征值为λ₁=2，λ₂=入3=3．
对于A的一重特征值λ₁=2，矩阵A只有一个属于λ₁的线性无关的特征向量．
对于A的二重特征值λ₂=λ₃=3．矩阵A可能有一个或两个属于λ=3的特征向量．但A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的．而据题意，A共有两个线性无关的特征向量．因此对于λ=3，矩阵A只可能有一个属于它的线性无关的特征向量．
这样三元方程组(3E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解．因此r(3E-A)=2．

故正确的选择应为D．

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