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设函数f(χ)=πlnχ-χsinnχdχ,其中n为正整数,试讨论方程f(χ)=0根的个数.
设函数f(χ)=πlnχ-χsinnχdχ,其中n为正整数,试讨论方程f(χ)=0根的个数.
admin
2016-03-16
32
问题
设函数f(χ)=πlnχ-χ
sin
n
χdχ,其中n为正整数,试讨论方程f(χ)=0根的个数.
选项
答案
设a=[*]sin
n
χdχ,由奇偶函数的定积分性质得 当n为奇数时,a=0,f(χ)=πlnχ,方程f(χ)=0即lnχ=0,此时方程f(χ)=0有唯一实根; 当n为偶数时,a=[*],此时f(χ)=πlnχ-aχ. 由于f′(χ)=[*]-a,所以 [*] 且[*]=-∞,所以f(χ)在点χ=[*]处取最大值. f
max
=π[πln[*]-1], 当n=2,4时, f
max
=π[πln[*]-1]<0 方程f(χ)=0没有实根. 当n=6,8,…时, f
max
=π[πln[*]-1]>0 方程f(χ)=0有两个根.
解析
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考研数学二
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