设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．

admin2016-03-16 46

问题设函数f(χ)＝πlnχ－χ

sinⁿχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．

选项

答案设a＝[*]sinⁿχdχ，由奇偶函数的定积分性质得当n为奇数时，a＝0，f(χ)＝πlnχ，方程f(χ)＝0即lnχ＝0，此时方程f(χ)＝0有唯一实根；当n为偶数时，a＝[*]，此时f(χ)＝πlnχ－aχ．由于f′(χ)＝[*]－a，所以 [*] 且[*]＝－∞，所以f(χ)在点χ＝[*]处取最大值． f_max＝π[πln[*]－1]，当n＝2，4时， f_max＝π[πln[*]－1]＜0 方程f(χ)＝0没有实根．当n＝6，8，…时， f_max＝π[πln[*]－1]＞0 方程f(χ)＝0有两个根．

解析

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