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  3. 设矩阵A=，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

设矩阵A=，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是

admin2015-04-30  44
问题 设矩阵A=，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D．
解析 由｜λE—A｜==λ(λ一3)(λ+3)，
可知矩阵A的特征值是3，—3，0，故秩r(A)=2，二次型xTAx的正、负惯性指数均为1．A中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；C中矩阵的特征值为3，—3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意．
对于(D)，记其矩阵为D，由

可知D的特征值为1，—1，0．xTAx与xTDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，符合题意，故应选D．
    注意，B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数P=2，负惯性指数q=1，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．
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考研数学二

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