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设y=xcosx,求y(n).
设y=xcosx,求y(n).
admin
2017-10-23
40
问题
设y=xcosx,求y
(n)
.
选项
答案
逐一求导,得 y’=cosx+x(cosx)’,y"=2(cosx)’+x(cosx)",y"’=y
(3)
=3(cosx)"+x(cosx)
(3)
,… 观察其规律得y
(n)
=n(cosx)
(n—1)
+x(cosx)
(n)
. (*) 用归纳法证明:当n=1时(*)显然成立,设n=k时(*)式成立,得 y
(k+1)
=k(cosx)
(k)
+(cosx)
(k)
+x(cosx)
(k+1)
=(k+1)(cosx)
(k)
+x(cosx)
(k+1)
, 即n=k+1时成立,因此(*)式对任意自然数n成立. 再用(cosx)
(n)
的公式得 y
(n)
=ncos(x+[*]).
解析
逐一求导,求出y’,y",…,总结出规律,写出y
(n)
表达式,然后用归纳法证明.
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考研数学三
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