设y=xcosx，求y(n)．

admin2017-10-23 32

问题设y=xcosx，求y⁽ⁿ⁾．

选项

答案逐一求导，得 y’=cosx+x(cosx)’，y"=2(cosx)’+x(cosx)"，y"’=y⁽³⁾=3(cosx)"+x(cosx)⁽³⁾，… 观察其规律得y⁽ⁿ⁾=n(cosx)^(n—1)+x(cosx)⁽ⁿ⁾． (*) 用归纳法证明：当n=1时(*)显然成立，设n=k时(*)式成立，得 y^(k+1)=k(cosx)^(k)+(cosx)^(k)+x(cosx)^(k+1)=(k+1)(cosx)^(k)+x(cosx)^(k+1)，即n=k+1时成立，因此(*)式对任意自然数n成立．再用(cosx)⁽ⁿ⁾的公式得 y⁽ⁿ⁾=ncos(x+[*])．

解析逐一求导，求出y’，y"，…，总结出规律，写出y⁽ⁿ⁾表达式，然后用归纳法证明．

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