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已知函数f(x,y)满足f"xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值。
已知函数f(x,y)满足f"xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值。
admin
2021-01-19
32
问题
已知函数f(x,y)满足f"
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
,f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,f(0,y)=y
2
+2y,求f(x,y)的极值。
选项
答案
先求出f(x,y)。 对函数f"
xy
(x,y)两端对y求不定积分,可得 f’
x
(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+φ
1
(x)。 由于f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,所以有 φ
1
(x)=(x+1)e
x
,f’
x
(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+(x+1)e
x
。 再对函数f’
x
(x,y)两端对x求不定积分,可得 f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
+φ
2
(y)。 由于f(0,y)=y
2
+2y,所以有φ
2
(y)=0,f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
。 下面求f(x,y)的极值。 [*] 解得x=0,y=-1,而 A=f"
xx
(0,-1)=1,B=f"
xy
(0,-1)=0,C=f"
yy
(0,-1)=2。 由于AC-B
2
>0,A>0,所以取得极小值f(0,-1)=-1。
解析
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考研数学二
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