已知函数f(x,y)满足f"xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值。

admin2021-01-19  32

问题 已知函数f(x,y)满足f"xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值。

选项

答案先求出f(x,y)。 对函数f"xy(x,y)两端对y求不定积分,可得 f’x(x,y)=(y2+2y)ex1(x)。 由于f’x(x,0)=(x+1)ex,所以有 φ1(x)=(x+1)ex,f’x(x,y)=(y2+2y)ex+(x+1)ex。 再对函数f’x(x,y)两端对x求不定积分,可得 f(x,y)=(y2+2y)ex+xex2(y)。 由于f(0,y)=y2+2y,所以有φ2(y)=0,f(x,y)=(y2+2y)ex+xex。 下面求f(x,y)的极值。 [*] 解得x=0,y=-1,而 A=f"xx(0,-1)=1,B=f"xy(0,-1)=0,C=f"yy(0,-1)=2。 由于AC-B2>0,A>0,所以取得极小值f(0,-1)=-1。

解析
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