小明想从8×8的方格棋盘(下图)中画出一个由三个小方格组成的“L”形(可旋转)，那么他一共有( )种不同的画法。

admin2017-01-19 23

问题小明想从8×8的方格棋盘(下图)中画出一个由三个小方格组成的“L”形(可旋转)，那么他一共有( )种不同的画法。

选项 A、49
B、98
C、147
D、196

答案D

解析从2×2的方格中画“L”形，有4种不同的画法。因此，设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S’是棋盘内所有横线和竖线的交叉点(不包括边界上的点)组成的集合。由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S’的元素能一一配对。由配对原理可知，这两个集合的元素一样多。
而棋盘内横线与竖线的交叉点有(9-2)×(9-2)=49(个)。
所以棋盘上可以画出“田”字形的个数为49个。又由于从一个“田”字形中可以画出4个“L”形，并且，从不同的“田”字形中画出的“L”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以画出49×4=196个“L”形，即题中“L”形的：不同画法共196种。

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