构造正交矩阵Q．使得QTAQ是对角矩阵

admin2017-10-21 42

问题构造正交矩阵Q．使得Q^TAQ是对角矩阵

选项

答案(1)先求特征值 [*] A的特征值为0，2，6．再求单位正交特征向量组属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，一1)^T，单位化得 [*] 属于2的特征向量是齐次方程组(A一2E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，一1，0)^T，单位化得 [*] 属于6的特征向量是齐次方程组(A一6E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，2)^T，单位化得 [*] 作正交矩阵 Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则Q^TAQ=Q^一1AQ=[*] (2)先求特征值 [*] A的特征值为1，1，10．再求单位正交特征向量组属于1的特征向量是齐次方程组(A—E)X=0的非零解， [*] 得(A—E)X=0的同解方程组x₁+2x₂—2x₄=0，显然α₁=(0，1，1)^T是一个解．第2个解取为α₂=(c，一1，1)^T(保证了与α₁的正交性!)，代入方程求出c=4，即α₂=(4，一1，1)^T． [*] 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A一10E)X=0的非零解(1，2，一2)^T，令γ₃=α₃／‖α₃‖=(1，2，一2)^T／3．作正交矩阵Q=(γ₁，γ₂，γ₃)．则[*]

解析

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考研数学三

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