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设A为n阶矩阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明
设A为n阶矩阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明
admin
2016-05-31
99
问题
设A为n阶矩阵(n≥2),A
*
为A的伴随矩阵,证明
选项
答案
(1)当r(A)=n时,|A|≠0,则有 |A
*
|=|A|
N-1
≠0 从而A
*
可逆,即r(A
*
)=n. (2)当r(A)=n-1时,由矩阵秩的定义知,A中至少有一个n-1阶子式不为零,即A
*
中至少有一个元素不为零,故r(A
*
)≥1. 又因r(A)=n-1时,有|A|=0,且由AA
*
=|A|E知,AA
*
=O. 因此根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A
*
)≤n, 把r(A)=n-1代入上式,得r(A
*
)≤1. 综上所述,有r(A
*
)=1. (3)当r(A)≤n-2时,A的所有n-1阶子式都为零,也就是A
*
的任一元素均为零,即A
*
=O,从而r(A
*
)=0.
解析
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考研数学三
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