设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)AtAx=0,必有( )

admin2018-02-07  21

问题 设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)AtAx=0,必有(    )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解。
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解。

答案A

解析 如果α是(1)的解,有Aα=0,可得
ATAα=AT(Aα)=AT0=0,
即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。
反之,若α是(2)的解,有ATAα=0,用αT左乘可得
0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα),
若设Aα=(b1,b2,…,bn),那么
(Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0bi=0(i=1,2,…,n),
即Aα=0,说明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以应选A。
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