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设β1,β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是导出组Ax=0的基础解系,k1、k2是任意常数,则Ax=b的通解是:
设β1,β2是线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是导出组Ax=0的基础解系,k1、k2是任意常数,则Ax=b的通解是:
admin
2017-10-23
58
问题
设β
1
,β
2
是线性方程组Ax=b的两个不同的解,α
1
,α
2
是导出组Ax=0的基础解系,k
1
、k
2
是任意常数,则Ax=b的通解是:
选项
A、
+k
1
α
1
+k
2
(α
1
— α
2
)
B、α
1
+k
1
(β
1
—β
2
)+k
2
(α
1
—α
2
)
C、
+k
1
α
1
+k
2
(α
1
—α
2
)
D、
+k
1
α
1
+k
2
(β
1
—β
2
)
答案
C
解析
非齐次方程组的通解y=
(非齐次方程组对应的齐次方程组的通解)+y
*
(非齐次方程组的一个特解),可验证
(β
1
+β
2
)是Ax=b的一个特解。
因为β
1
,β
2
是线性方程组Ax=b的两个不同的解:
又已知α
1
,α
2
为导出组Ax=0的基础解系,可知α
1
,α
2
是Ax—0的解,同样可验证α
1
—α
2
也是Ax=0的解,A(α
1
,α
2
)=Aα
1
—Aα
2
=0—0=0。
还可验证α
1
,α
1
—α
2
线性无关。
设有任意两个实数K
11
,K
22
使K
11
α
1
+K
22
(α
1
—α
2
)=0,即(K
11
+K
22
)α
1
— K
22
α
2
=0,
因α
1
,α
2
线性无关,所以α
1
,α
2
的系数,K
11
+K
22
=0,—K
22
=0。
即
,解得K
11
=0,K
22
=0;因此α
1
,α
1
—α
2
线性无关。
故齐次方程组Ax=0的通解为
=k
1
α
1
+k
2
(α
1
—α
2
)。
又y
*
=
(β
1
+β
2
)是Ax=b的一个特解;
所以Ax=b的通解为y=
+k
1
α
1
+k
2
(α
1
—α
2
)。
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