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  3. 设β1，β2是线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是导出组Ax＝0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax＝b的通解是：

设β1，β2是线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是导出组Ax＝0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax＝b的通解是：

admin2017-10-23  55
问题 设β1，β2是线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α1，α2是导出组Ax＝0的基础解系，k1、k2是任意常数，则Ax＝b的通解是：
选项 A、+k1α1+k2（α1— α2）
B、α1+k1（β1—β2）+k2（α1—α2）
C、+k1α1+k2（α1—α2）
D、+k1α1+k2（β1—β2）
答案C
解析 非齐次方程组的通解y＝（非齐次方程组对应的齐次方程组的通解）+y*（非齐次方程组的一个特解），可验证(β1+β2)是Ax＝b的一个特解。
因为β1，β2是线性方程组Ax＝b的两个不同的解：

又已知α1，α2为导出组Ax＝0的基础解系，可知α1，α2是Ax—0的解，同样可验证α1—α2也是Ax＝0的解，A（α1，α2）＝Aα1—Aα2＝0—0＝0。
还可验证α1，α1—α2线性无关。
设有任意两个实数K11，K22使K11α1+K22（α1—α2）＝0，即(K11+K22)α1— K22α2＝0，
因α1，α2线性无关，所以α1，α2的系数，K11+K22＝0，—K22＝0。
即，解得K11＝0，K22＝0；因此α1，α1—α2线性无关。
故齐次方程组Ax＝0的通解为＝k1α1+k2 (α1—α2)。
又y*＝(β1+β2)是Ax＝b的一个特解；
所以Ax＝b的通解为y＝+k1α1+k2 (α1—α2)。
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