下列命题中正确的是( )．

admin2018-09-29 52

问题下列命题中正确的是( )．

选项 A、若x₀为f(z)的极值点，则必有f’(x₀)0
B、若x₀为f(x)的极值点，且f’(x₀)=0，则f"(x₀)一定存在
C、若x₀为f(x)的极值点，且f"(x₀)存在，则必有f’(x₀)=0
D、若x₀为f(x)的极小值点，则必定存在x₀的某个邻域，在此邻域内，函数y=f(x)在点x₀左侧单调减少，在点x₀右侧单调增加

答案C

解析对照函数极值的定义、定理逐个检验．
对比极值存在的必要条件，易知A不正确．因为f’(x₀)不存在时，x₀也可能是极值点．例如．f(x)=|x|在x=0处有极小值，但f’(0)不存在．
对比极值存在的第二充分条件，B错误．因为f’(x₀)=0且f"(x₀)存在，f"(x₀)≠0是x₀为极值点的充分条件，非必要条件．例如函数f(x)=x^4／3，容易看出x=0是f(x)的极小值点，且f’(0)=0．但f"(x)=4／9x^－2／3在x=0处不存在．
C是正确的．因为若f"(x₀)存在，则f’(x₀)必存在，且f’(x)在x₀处连续．于是由极值的必要条件，必有f’(x₀)=0．
D容易判断错误．因为从图形上观察单调与极值的关系，会误认为D是正确的．殊不知我们所画的图形是一些比较简单的函数图形，特别是f’(x)在x₀连续且f’(x₀)=0的情形．对于一些特殊、复杂的函数，如