设f为R上连续的周期函数．证明：f在R上有最大值与最小值．

admin2022-11-23 22

问题设f为R上连续的周期函数．证明：f在R上有最大值与最小值．

选项

答案设f的周期为T，由于f在闭区间[0，T]上连续，故有最大值f(ξ)和最小值f(η)，ξ，η∈[0，T]．对任给的x∈(-∞，+∞)，则存在某正数k，使得x∈[kT，(k+1)T]，于是x-kT∈[0，T]，从而有f(η)≤f(x)=f(x-kT)≤f(ξ)．所以 f(ξ)=max{f(x)｜-∞＜x＜+∞}， f(η)=min{f(x)｜-∞＜x＜+∞}．

解析

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