2. 考研
  3. 设向量组（Ⅰ）：b1，…，br能由向量组（Ⅱ）：a1，…，as线性表示为 （b1，…，br）=（a1，…，as）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

设向量组（Ⅰ）：b1，…，br能由向量组（Ⅱ）：a1，…，as线性表示为 （b1，…，br）=（a1，…，as）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。

admin2017-01-21  43
问题 设向量组（Ⅰ）：b1，…，br能由向量组（Ⅱ）：a1，…，as线性表示为 （b1，…，br）=（a1，…，as）K，其中K为s×r矩阵，且向量组（Ⅱ）线性无关。证明向量组（Ⅰ）线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r（K）=r。
选项
答案必要性：令B=（b1，…，br），A=（a1，…，as），则有B=AK，由定理r（B）=r（AK）≤min{ r（A），r（K）}，结合向量组（Ⅰ）：b1，b2，…，br线性无关知r（B=r，故r（K）≥r。 又因为K为r×s阶矩阵，则有r（K）≤min{r，s}。 且由向量组（Ⅰ）：b1，b2，…，br能由向量组（Ⅱ）：a1，a2，…，as线性表示，则有r≤s，即min{r，s}=r。 综上所述 r≤r（K）≤r，即r（K）=r。 充分性：已知r（K）=r，向量组（Ⅱ）线性无关，r（A）=s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 [*] 于是有PB=PAK=[*] 由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）=[*]=r（K）， 即r（B）=r（K）=r，因此向量组（Ⅰ）线性无关。
解析
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考研数学三

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