设A为n阶实对称矩阵，其秩为r(A)=r． (1)证明：A的非零特征值的个数必为r(A)=r． (2)举一个三阶矩阵说明对非对称矩阵上述命题不正确．

admin2017-07-26 36

问题设A为n阶实对称矩阵，其秩为r(A)=r．
(1)证明：A的非零特征值的个数必为r(A)=r．
(2)举一个三阶矩阵说明对非对称矩阵上述命题不正确．

选项

答案(1)A是实对称矩阵必可相似对角化，设 [*] 由于r(A)=r，故a₁，a₂，…，a_n中有且仅有r个数非零，而a₁，a₂，…，a_n是矩阵A的特征值．所以矩阵A的非零特征值的个数必为r(A)=r． (2)例如，A=[*]，矩阵A的特征值是0，0，0，而r(A)=2．

解析

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考研数学三

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