设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=｜x－t｜f(t)dt，x∈[－1，1]． (I)若f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数； (Ⅱ)若f(x)＞0(当－1≤x≤1)，证明：曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

admin2016-07-22 58

问题设当x∈[－1，1]时，f(x)连续，F(x)=

｜x－t｜f(t)dt，x∈[－1，1]．
(I)若f(x)为偶函数，证明：F(x)也是偶函数；
(Ⅱ)若f(x)＞0(当－1≤x≤1)，证明：曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

选项

答案(Ⅰ)设f(x)为连续的偶函数，则 F(－x)=[*]｜x+t｜ f(t)dt =[*]｜x－u｜f(u)du=F(x)．所以F(x)也是偶函数． (Ⅱ)F(x)=[*](t－x)f(t)dt =x[*]f(t)dt， F′(x)=[*]f(t)dt+xf(x) =[*]f(t)dt， F″(x)=f(x)+f(x)=2f(x)＞0．所以曲线y=F(x)在区间[－1，1]上是凹的．

解析

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考研数学二

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