2. 考研
  3. 设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B=． (Ⅰ)求A的特征值； (Ⅱ)若ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(2，2，0)T，ξ3=(0，2，1)T，ξ4=(5，—1，一3)T 都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特

设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B=． (Ⅰ)求A的特征值； (Ⅱ)若ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(2，2，0)T，ξ3=(0，2，1)T，ξ4=(5，—1，一3)T 都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特

admin2016-05-03  77
问题 设A是3阶实对称矩阵，A～B，其中B=．
    (Ⅰ)求A的特征值；
    (Ⅱ)若ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(2，2，0)T，ξ3=(0，2，1)T，ξ4=(5，—1，一3)T
    都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量，求A的对应于λ3的特征向量；
    (Ⅲ)求矩阵A．
选项
答案(Ⅰ)由A～B，则A，B有相同的秩和特征值．显然r(B)=1，B有特征值λ1=λ2=0且λ1+λ2+λ3=[*]=1+4+9，得λ3=14．故A有特征值1=λ2=0，λ3=14． (Ⅱ)λ1=λ2=0是A的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有两个，由题设知η1=ξ1=(1，1，0)T，η2=ξ3=(0，2，1)T线性无关(取ξ1，ξ2，ξ3，ξ4的极大线性无关组，不唯一)，故取η1=ξ1，η2=ξ3为λ=0的线性无关特征向量，因A是实对称矩阵，将λ3=14对应的特征向量设为η3=(x1，x2，x3)T，则η3与η1，η2正交，则有η1Tη3=0，η2Tη3=0．即有 [*] 解得基础解系为η2=(1，一1，2) T，即是λ3=14对应的特征向量． (Ⅲ)令P=(η1，η2，η3)，则 [*]
解析
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考研数学三

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