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设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B=. (Ⅰ)求A的特征值; (Ⅱ)若ξ1=(1,1,0)T,ξ2=(2,2,0)T,ξ3=(0,2,1)T,ξ4=(5,—1,一3)T 都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量,求A的对应于λ3的特
设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B=. (Ⅰ)求A的特征值; (Ⅱ)若ξ1=(1,1,0)T,ξ2=(2,2,0)T,ξ3=(0,2,1)T,ξ4=(5,—1,一3)T 都是A的对应于λ1=λ2=0的特征向量,求A的对应于λ3的特
admin
2016-05-03
113
问题
设A是3阶实对称矩阵,A~B,其中B=
.
(Ⅰ)求A的特征值;
(Ⅱ)若ξ
1
=(1,1,0)
T
,ξ
2
=(2,2,0)
T
,ξ
3
=(0,2,1)
T
,ξ
4
=(5,—1,一3)
T
都是A的对应于λ
1
=λ
2
=0的特征向量,求A的对应于λ
3
的特征向量;
(Ⅲ)求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)由A~B,则A,B有相同的秩和特征值.显然r(B)=1,B有特征值λ
1
=λ
2
=0且λ
1
+λ
2
+λ
3
=[*]=1+4+9,得λ
3
=14.故A有特征值
1
=λ
2
=0,λ
3
=14. (Ⅱ)λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,对应的线性无关特征向量最多有两个,由题设知η
1
=ξ
1
=(1,1,0)
T
,η
2
=ξ
3
=(0,2,1)
T
线性无关(取ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,ξ
4
的极大线性无关组,不唯一),故取η
1
=ξ
1
,η
2
=ξ
3
为λ=0的线性无关特征向量,因A是实对称矩阵,将λ
3
=14对应的特征向量设为η
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则η
3
与η
1
,η
2
正交,则有η
1
T
η
3
=0,η
2
T
η
3
=0.即有 [*] 解得基础解系为η
2
=(1,一1,2)
T
,即是λ
3
=14对应的特征向量. (Ⅲ)令P=(η
1
,η
2
,η
3
),则 [*]
解析
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考研数学三
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