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设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置. 证明: 当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
设A=E-ξξT,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置. 证明: 当ξTξ=1时,A是不可逆矩阵.
admin
2016-05-31
74
问题
设A=E-ξξ
T
,其中E是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ
T
是ξ的转置.
证明:
当ξ
T
ξ=1时,A是不可逆矩阵.
选项
答案
方法一:当ξ
T
ξ=1时,由A=E-ξξ
T
可得 Aξ=ξ-ξξ
T
ξ=ξ-ξ=0, 因为ξ≠0,因此Ax=0有非零解,即|A|=0,所以A不可逆. 方法二:当ξ
T
ξ=1时,由于A
2
=A[*]A(E-A)=0,所以E-A的每一列均为Ax=0的解, 因为E-A=ξξ
T
≠0,即Ax=0有非零解,因此矩阵A的秩小于n,即A不可逆.
解析
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考研数学三
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