设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2016-05-31 67

问题设A=E-ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．
证明：
当ξ^Tξ=1时，A是不可逆矩阵．

选项

答案方法一：当ξ^Tξ=1时，由A=E-ξξ^T可得 Aξ=ξ-ξξ^Tξ=ξ-ξ=0，因为ξ≠0，因此Ax=0有非零解，即｜A｜=0，所以A不可逆．方法二：当ξ^Tξ=1时，由于A²=A[*]A(E-A)=0，所以E-A的每一列均为Ax=0的解，因为E-A=ξξ^T≠0，即Ax=0有非零解，因此矩阵A的秩小于n，即A不可逆．

解析

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考研数学三

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