2. 考研
  3. 设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置． 证明： 当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置． 证明： 当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

admin2016-05-31  45
问题 设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．
证明：
当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
选项
答案方法一：当ξTξ=1时，由A=E-ξξT可得 Aξ=ξ-ξξTξ=ξ-ξ=0， 因为ξ≠0，因此Ax=0有非零解，即｜A｜=0，所以A不可逆． 方法二：当ξTξ=1时，由于A2=A[*]A(E-A)=0，所以E-A的每一列均为Ax=0的解， 因为E-A=ξξT≠0，即Ax=0有非零解，因此矩阵A的秩小于n，即A不可逆．
解析
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考研数学三

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