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  3. 用钢板制作一个容积为am3的有盖长方体水箱，若不计钢板的厚度，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用材料最省?

用钢板制作一个容积为am3的有盖长方体水箱，若不计钢板的厚度，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用材料最省?

admin2022-06-08  62
问题 用钢板制作一个容积为am3的有盖长方体水箱，若不计钢板的厚度，如何设计长、宽、高的尺寸，才能使所用材料最省?
选项
答案设长方体水箱的长、宽、高分别为x，y，z(m)．体积V=xyz=a(m3)，因此其高为z=a／xy(m)． 水箱的表面积S=2(xy+yz+xz)．将z=与a／xy代入S的表达式，可得 S=2(xy+[*])(x＞0，y＞0)， 当表面积最小时，所用材料最省．解方程组 [*] 可得唯一组解x=[*](m)．即S的唯一驻点为([*])． 依实际问题可知，水箱表面积的最小值一定存在，又驻点唯一．因此此驻点即为S的最小值点，此时z=[*](m)．故知设计长、宽、高都为[*](m)时，所用材料最省．
解析
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经济类联考综合能力

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