设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(一1，1)内至少存在一点ξ，使得f"’(ξ)=3．

admin2021-11-09 66

问题设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(一1，1)内至少存在一点ξ，使得f"’(ξ)=3．

选项

答案将f(x)在x=0处展成泰勒公式， [*] 当x=±1时，有 [*] 上面两式相减得 f"’(η₁)+f"’(η₂)=6．由f"’(x)的连续性知，f"’(x)在[η₂，η₁]上有最大值M和值小值m，则 [*] 再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η₂，η₁][*](一1，1)，使 [*]

解析

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