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(2004年真题)若α,β,γ线性无关,而向量α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,则k=[ ]。
(2004年真题)若α,β,γ线性无关,而向量α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,则k=[ ]。
admin
2015-04-14
35
问题
(2004年真题)若α,β,γ线性无关,而向量α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,则k=[ ]。
选项
A、3
B、2
C、-2
D、-3
答案
D
解析
本题主要考查向量组的线性相关性和线性无关性。
解法1
考虑x
1
(α+2β)+x
2
(2β+kγ)+x
3
(3γ+α)=0,即(x
1
+x
3
)α+(2x
1
+2x
2
)β+(kx
2
+3x
3
)γ=0。因α,β,γ线性无关,所以
又由向最组α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,所以有x
1
,x
2
,x
3
不全为0,故齐次线性方程组
,
有非零解,因而
=6+2k=0,解得k=-3。故正确选项为D。
解法2
(α+2β,2β+kγ,3γ+α)=(α,β,γ)
由题设,α,β,γ线性无关,向量α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,可得矩阵(α,β,γ)的秩等于3,矩阵(α+2β,2β+kγ,3γ+α)的秩小于3,因此矩阵
的秩必小于3 (否则,矩阵(α+2β,2β+kγ,3γ+α的秩等于3),从而有
解得k=-3。
解法3
特殊值代入法。把α,β,γ看作三维单位向量,
因向量组α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关,所以
=0。解得k=-3。
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