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  3. （2004年真题）若α，β，γ线性无关，而向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，则k=[ ]。

（2004年真题）若α，β，γ线性无关，而向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，则k=[ ]。

admin2015-04-14  22
问题 （2004年真题）若α，β，γ线性无关，而向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，则k=[     ]。
选项 A、3
B、2
C、-2
D、-3
答案D
解析 本题主要考查向量组的线性相关性和线性无关性。
解法1
考虑x1(α+2β)+x2(2β+kγ)+x3(3γ+α)=0，即(x1+x3)α+(2x1+2x2)β+(kx2+3x3)γ=0。因α，β，γ线性无关，所以

又由向最组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以有x1，x2，x3不全为0，故齐次线性方程组
，
有非零解，因而
=6+2k=0，解得k=-3。故正确选项为D。
解法2
(α+2β，2β+kγ，3γ+α)=(α，β，γ)

由题设，α，β，γ线性无关，向量α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，可得矩阵(α，β，γ)的秩等于3，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α)的秩小于3，因此矩阵

的秩必小于3        (否则，矩阵(α+2β，2β+kγ，3γ+α的秩等于3)，从而有

解得k=-3。
解法3
特殊值代入法。把α，β，γ看作三维单位向量，

因向量组α+2β，2β+kγ，3γ+α线性相关，所以
=0。解得k=-3。
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