设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an-2一n(n—1)an=0(n≥2)．S(x)是幂级数的和函数． (1)证明：S”(x)一S(x)=0； (2)求S(x)的表达式．

admin2016-06-27 69

问题设数列{a_n}满足条件：a₀=3，a₁=1，a_n-2一n(n—1)a_n=0(n≥2)．S(x)是幂级数

的和函数．
(1)证明：S”(x)一S(x)=0；
(2)求S(x)的表达式．

选项

答案(1)证明：由题意得 [*] 因为由已知条件得a_n=(n+1)(n+2)a_n+2,(n=0，1，2，…)，所以S”(x)=S(x)，即S”(x)一S(x)=0． (2)S”(x)一S(x)=0为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为λ²一1=0，从而λ=±1，于是 S(x)=C₁e^-x+C₂e^x，由S(0)=a₀=3，S’(0)=a₁=1，得 [*] 所以S(x)=e^-x+2e^x．

解析

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考研数学三

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