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设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n—1)an=0(n≥2).S(x)是幂级数的和函数. (1)证明:S”(x)一S(x)=0; (2)求S(x)的表达式.
设数列{an}满足条件:a0=3,a1=1,an-2一n(n—1)an=0(n≥2).S(x)是幂级数的和函数. (1)证明:S”(x)一S(x)=0; (2)求S(x)的表达式.
admin
2016-06-27
106
问题
设数列{a
n
}满足条件:a
0
=3,a
1
=1,a
n-2
一n(n—1)a
n
=0(n≥2).S(x)是幂级数
的和函数.
(1)证明:S”(x)一S(x)=0;
(2)求S(x)的表达式.
选项
答案
(1)证明:由题意得 [*] 因为由已知条件得a
n
=(n+1)(n+2)a
n+2
,(n=0,1,2,…),所以S”(x)=S(x),即S”(x)一S(x)=0. (2)S”(x)一S(x)=0为二阶常系数齐次线性微分方程,其特征方程为λ
2
一1=0,从而λ=±1,于是 S(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
x
, 由S(0)=a
0
=3,S’(0)=a
1
=1,得 [*] 所以S(x)=e
-x
+2e
x
.
解析
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考研数学三
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