设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f”(x),且f(2)=f(1)=0,如果F(x)=(x-1)f(x),试证明至少存在一点ξ∈(1,2),使F”(ξ)=0。

admin2015-07-15  58

问题 设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f”(x),且f(2)=f(1)=0,如果F(x)=(x-1)f(x),试证明至少存在一点ξ∈(1,2),使F”(ξ)=0。

选项

答案证明:设G(x)=F(x)-(x-2)f(1),则G(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导, 而G(1)=f(1),G(2)=f(2), 于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。 由罗尔定理知在(1,2)内至少有一点ξ1使G’(ξ1)=0,即F’(ξ1)=f(1)。 又由F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)知F’(1)=f(1)。 显然F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)在[1,ξ1]上满足罗尔定理条件。 于是在(1,ξ1)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0, 即在(1,2)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0。

解析
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