设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f”(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F”(ξ)=0。

admin2015-07-15 65

问题设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f”(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F”(ξ)=0。

选项

答案证明：设G(x)=F(x)-(x-2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点ξ₁使G’(ξ₁)=0，即F’(ξ₁)=f(1)。又由F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)知F’(1)=f(1)。显然F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)在[1，ξ₁]上满足罗尔定理条件。于是在(1，ξ₁)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0，即在(1，2)内至少有一点ξ使F”(ξ)=0。

解析

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