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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x4+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为 标准形2y12+2y22+by32. (I)求常数a,b; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|=1时,求二次
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x4+2ax2x3(a<0)通过正交变换化为 标准形2y12+2y22+by32. (I)求常数a,b; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|=1时,求二次
admin
2014-12-17
77
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
一2x
1
x
2
一2x
1
x
4
+2ax
2
x
3
(a<0)通过正交变换化为
标准形2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
.
(I)求常数a,b;
(Ⅱ)求正交变换矩阵;
(Ⅲ)当|X|=1时,求二次型的最大值.
选项
答案
[*] 则f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX.因为二次型经过正交变换化为2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
所以矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=b.由特征值的件质得[*] 解得a=一1,b=一1. (Ⅱ)当λ
1
=λ
2
=2时,由(2E一A)X=0,得ξ
1
=[*];当λ
3
=一1时,由(一E—A)X=0,得ξ
3
=[*] [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵.所以|X|=1时,|Y|=1,当|Y|=1时,二次型的最大值为2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qQU4777K
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考研数学三
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