设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x4+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (I)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当|X|=1时，求二次

admin2014-12-17 92

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂一2x₁x₄+2ax₂x₃(a＜0)通过正交变换化为
标准形2y₁²+2y₂²+by₃²．
(I)求常数a，b；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当|X|=1时，求二次型的最大值．

选项

答案 [*] 则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX．因为二次型经过正交变换化为2y₁²+2y₂²+by₃²所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b．由特征值的件质得[*] 解得a=一1，b=一1． (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E一A)X=0，得ξ₁=[*]；当λ₃=一1时，由(一E—A)X=0，得ξ₃=[*] [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵．所以|X|=1时，|Y|=1，当|Y|=1时，二次型的最大值为2．

解析

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考研数学三

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