(Ⅰ)设A=，问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵； (Ⅱ)A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．

admin2016-07-22 9

问题 (Ⅰ)设A=

，问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵；
(Ⅱ)A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由｜λE—A｜=[*] =λ[*]=λ(λ－3)² 知A有特征值λ₁=0，λ₂=λ₃=3，则kE+A有特征值k，k+3，k+3，kE+A正定[*]k＞0． [*]=(k+2)²－1＞0[*]k＞－1或k＜－3． [*]=k(k+3)²＞0[*]k＞0．综上，k＞0． (Ⅱ)设A有特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，且λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，则kE+A有特征值k+λ₁，…，k+λ_n，且k+λ₁≤k+λ₂≤…≤k+λ_n．[*]存在k是大于零的实数，使得kE+A的特征值全部大于零，kE+A正定．

解析

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考研数学二

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