2. 考研
  3. 已知A=[α1，α2，α3，α4]T是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是 [1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T， 又B=[α1，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．

已知A=[α1，α2，α3，α4]T是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是 [1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T， 又B=[α1，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．

admin2015-12-22  49
问题 已知A=[α1，α2，α3，α4]T是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是
    [1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，
    又B=[α1，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．
选项
答案已知方程组的通解要能由解的结构找出基础系及特解，还要能用线性方程组的向量形式求出齐次方程组与非齐次线性方程组的解． 解 由方程组Ax=β的解的结构，可知 秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=3， 且 α1+2α2+2α3+α4=β， α1—2α2+4α3=0，故α1，α2，α3线性相关． 因为 B=[α3，α2，α1，β一α4]=[α3，α2，α1，α1+2α2+2α3]， 且α1，α2，α3线性相关，故秩(B)=2，所以Bx=0的一个基础解系只含n一秩(B)=4一2=2个解向量． 由[*]知，[0，一1，1，0]T是方程组Bx=α1一α2的一个解． 又由 [*] 可知[4，一2，1，0]T，[2，一4，0，1]T是Bx=0的两个线性无关的解，故Bx=α1一α2的通解为 [0，一1，1，0]T+k1[4，一2，1，0]T+k2[2，一4，0，1]T． 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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