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设f(x)、g(x)在[一a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数). (1)试证:∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx; (2)计算:|sinx|arctanexdx.
设f(x)、g(x)在[一a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数). (1)试证:∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx; (2)计算:|sinx|arctanexdx.
admin
2017-07-26
44
问题
设f(x)、g(x)在[一a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数,且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数).
(1)试证:∫
—a
a
f(x)g(x)dx=A∫
0
a
g(x)dx;
(2)计算:
|sinx|arctane
x
dx.
选项
答案
(1)∫
—a
a
f(x)g(x)dx=∫
—a
0
f(x)g(x)dx+∫
0
a
f(x)g(x)dx, 又f(x)g(x)dx[*]∫
0
a
f(一t)g(一t)dt,所以, ∫
—a
a
f(x)g(x)dx=∫
0
a
f(一t)g(一t)dt+∫
0
a
f(x)g(x)dx =∫
0
a
f(—x)g(x)dx+∫
0
a
f(x)g(x)dx =∫
0
a
[f(—x)+f(x)]g(x)dx =A∫
0
a
g(x)dx, 故 ∫
—a
a
f(x)g(x)dx=A∫
0
a
g(x)dx. (2)在积分[*]|sinx|arctane
x
dx中,f(x)=arctane
x
,g(x)=|sinx|.因为g(一x)= g(x),由 [f(x)+f(一x)]’=(arctane
x
+arctane
—x
)’=[*]=0, 可知 f(x)+f(一x)=arctane
x
+arctane
—x
=c(常数), 即 arctane
x
+arctane
x
=arctane
0
+arctane
0
=[*], 所以,f(x),g(x)满足已证结论的条件,故 [*]
解析
先拆分,经变量替换转化为同一区间上的积分后再合并.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qgH4777K
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考研数学三
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