2. 考研
  3. 设f(x)、g(x)在[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数)． (1)试证：∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx； (2)计算：｜sinx｜arctanexdx．

设f(x)、g(x)在[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数)． (1)试证：∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx； (2)计算：｜sinx｜arctanexdx．

admin2017-07-26  35
问题 设f(x)、g(x)在[一a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且满足f(x)+f(一x)=A(A为常数)．
(1)试证：∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx；
(2)计算：｜sinx｜arctanexdx．
选项
答案(1)∫—aaf(x)g(x)dx=∫—a0f(x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx， 又f(x)g(x)dx[*]∫0af(一t)g(一t)dt，所以， ∫—aaf(x)g(x)dx=∫0af(一t)g(一t)dt+∫0af(x)g(x)dx =∫0af(—x)g(x)dx+∫0af(x)g(x)dx =∫0a[f(—x)+f(x)]g(x)dx =A∫0ag(x)dx， 故 ∫—aaf(x)g(x)dx=A∫0ag(x)dx． (2)在积分[*]｜sinx｜arctanexdx中，f(x)=arctanex，g(x)=｜sinx｜．因为g(一x)= g(x)，由 [f(x)+f(一x)]’=(arctanex+arctane—x)’=[*]=0， 可知 f(x)+f(一x)=arctanex+arctane—x=c(常数)， 即 arctanex+arctanex=arctane0+arctane0=[*]， 所以，f(x)，g(x)满足已证结论的条件，故 [*]
解析 先拆分，经变量替换转化为同一区间上的积分后再合并．
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考研数学三

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