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  3. 函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’n}，{x”n}I，若(x’n-x”n)=0，则(f(x’n)-f(x”n))=0．

函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’n}，{x”n}I，若(x’n-x”n)=0，则(f(x’n)-f(x”n))=0．

admin2022-10-31  55
问题 函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’n}，{x”n}I，若(x’n-x”n)=0，则(f(x’n)-f(x”n))=0．
选项
答案[*]若f(x)在I上一致连续，则对[*]，使得当x’,x”∈I，｜x’-x”｜＜δ时，｜f(x’)-f(x”)｜＜ε． 设I上两个数列{x’n}，{x”n}，满足[*](x’n}-x”n)=0，于是对上述δ＞0，[*]｜x’n}-x”n｜＜δ，由一致连续性条件，有｜f(x’n})-f(x”n)｜＜ε，即[*](f(x’n})-f(x”n))=0． [*]设I上任意两个数列{x’n}与{x”n}，若[*](x’n}-x”n)=0,则有[*](f(x’n})-f(x”n))=0．现证f(x)在I上一致连续． 用反证法．若f(x)在I上不一致连续，则[*]满足｜x’-x”｜＜δ，但有｜f(x’)-f(x”)｜≥ε0． 取δ1=1，[*]x’1，x”1∈I，｜x’1-x”1｜＜1，有｜f(x’1)-f(x”1)｜≥ε0； 取δ2=1／2，[*]x’2，x”2∈I，｜x’2-x”2｜＜1／2，有｜f(x’2)-f(x”2)｜≥ε0； … [*] 与所设条件矛盾．所以f(x)在I上一致连续．
解析
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考研数学一

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