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函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’n}，{x”n}I，若(x’n-x”n)=0，则(f(x’n)-f(x”n))=0．
函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’n}，{x”n}I，若(x’n-x”n)=0，则(f(x’n)-f(x”n))=0．
admin
2022-10-31
35
问题
函数f(x)定义在区间I上．试证f(x)在I上一致连续的充要条件为：对任何数列{x’
n
}，{x”
n
}
I，若
(x’
n
-x”
n
)=0，则
(f(x’
n
)-f(x”
n
))=0．
选项
答案
[*]若f(x)在I上一致连续，则对[*]，使得当x’,x”∈I，｜x’-x”｜＜δ时，｜f(x’)-f(x”)｜＜ε． 设I上两个数列{x’
n
}，{x”
n
}，满足[*](x’
n
}-x”
n
)=0，于是对上述δ＞0，[*]｜x’
n
}-x”
n
｜＜δ，由一致连续性条件，有｜f(x’
n
})-f(x”
n
)｜＜ε，即[*](f(x’
n
})-f(x”
n
))=0． [*]设I上任意两个数列{x’
n
}与{x”
n
}，若[*](x’
n
}-x”
n
)=0,则有[*](f(x’
n
})-f(x”
n
))=0．现证f(x)在I上一致连续． 用反证法．若f(x)在I上不一致连续，则[*]满足｜x’-x”｜＜δ，但有｜f(x’)-f(x”)｜≥ε
0
． 取δ
1
=1，[*]x’
1
，x”
1
∈I，｜x’
1
-x”
1
｜＜1，有｜f(x’
1
)-f(x”
1
)｜≥ε
0
； 取δ
2
=1／2，[*]x’
2
，x”
2
∈I，｜x’
2
-x”
2
｜＜1／2，有｜f(x’
2
)-f(x”
2
)｜≥ε
0
； … [*] 与所设条件矛盾．所以f(x)在I上一致连续．
解析
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0
考研数学一
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