2. 考研
  3. 已知二次型厂(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A=(aij)满足a11+a22+a33=－6，AB=C， 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；

已知二次型厂(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A=(aij)满足a11+a22+a33=－6，AB=C， 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；

admin2016-04-29  102
问题 已知二次型厂(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A=(aij)满足a11+a22+a33=－6，AB=C，

用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形；
选项
答案记α1=（1，0，－1）T，记α2=（1，2，1）T，则B=(α1，α2)，C=(0，－12α2)． 由题设AB=C知A(α1，α2)=(0，－12α2)，即Aα1=0，Aα2=－12α2，所以λ1=0，λ2=－12是矩阵A的特征值，α1，α2是A分别属于特征值λ1=0，λ2=－12的特征向量． 设λ3是第三个特征值，利用题设λ1+λ2+λ3=a11+ a22+ a33=－6，所以λ3=6． 设λ3=6对应的特征向量为α3= （x1，x2，x3）T，由于λ3≠λ2，λ3≠λ1，所以α3与α1，α2 均正交，即[*] 解得（x1，x2，x3）T=t（1，－1，1）T，取α3=（1，－1，1）T，将α1，α2，α3单位化得3个两两正交的单位向量组 [*] 记U=(η1，η2，η3)，则U为正交矩阵，且UTAU=[*] 作正交变换x=Uy，即得二次型的标准形为：－12y22+6y32．
解析
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考研数学三

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