设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n一1)αn—1=0，b=α1+α1+…+αn． (1)证明方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

admin2015-06-26 66

问题设n阶矩阵A=(α₁，α₂，…，α_n)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α₁+2α₂+…+(n一1)α_n—1=0，b=α₁+α₁+…+α_n．
(1)证明方程组AX=b有无穷多个解；
(2)求方程组AX=b的通解．

选项

答案(1)因为r(A)=n一1，又b=α₁+α₂+…+α_n，所以[*]=n一1，=n一1＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解． (2)因为α₁+2α₂+…+(n一1)α_n—1=0，所以α₁+2α₂+…+(n一1)α_n—1+0α_n=0，即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1，2，…，n一1，0)^T，又因为b=α₁+α₂+…+α_n，所以方程组AX=b有特解η=(1，1，…，1)^T，故方程组AX=b的通解为 kξ+η=k(1，2，…，n一1，0)^T+(1，1，…，1)^T(k为任意常数)．

解析

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考研数学三

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设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α1+2α2+…+(n一1)αn—1=0，b=α1+α1+…+αn． (1)证明方程组AX=b有无穷多个解； (2)求方程组AX=b的通解．

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