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设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n一1个列向量线性相关,后n一1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n一1)αn—1=0,b=α1+α1+…+αn. (1)证明方程组AX=b有无穷多个解; (2)求方程组AX=b的通解.
设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn)的前n一1个列向量线性相关,后n一1个列向量线性无关,且α1+2α2+…+(n一1)αn—1=0,b=α1+α1+…+αn. (1)证明方程组AX=b有无穷多个解; (2)求方程组AX=b的通解.
admin
2015-06-26
59
问题
设n阶矩阵A=(α
1
,α
2
,…,α
n
)的前n一1个列向量线性相关,后n一1个列向量线性无关,且α
1
+2α
2
+…+(n一1)α
n—1
=0,b=α
1
+α
1
+…+α
n
.
(1)证明方程组AX=b有无穷多个解;
(2)求方程组AX=b的通解.
选项
答案
(1)因为r(A)=n一1,又b=α
1
+α
2
+…+α
n
,所以[*]=n一1,=n一1<n,所以方程组AX=b有无穷多个解. (2)因为α
1
+2α
2
+…+(n一1)α
n—1
=0,所以α
1
+2α
2
+…+(n一1)α
n—1
+0α
n
=0,即齐次线性方程组AX=0有基础解系ξ=(1,2,…,n一1,0)
T
,又因为b=α
1
+α
2
+…+α
n
,所以方程组AX=b有特解η=(1,1,…,1)
T
,故方程组AX=b的通解为 kξ+η=k(1,2,…,n一1,0)
T
+(1,1,…,1)
T
(k为任意常数).
解析
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考研数学三
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