设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2016-03-26 58

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关．

选项

答案由条件有k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=β…①．必要性．设表示唯一，若λ₁α₁+λ₂α₂+…+λ_nα_n=0…②，①与②两端分别相加，得 (k₁+λ₁)α₂+(k₂+λ₂)α₂+…+(k_n+λ_n)α_n=β…③，由表示唯一，比较①与③，得k_j=k_j+λ_j(j=1，2，…，n)=>λ_j=0(j=1，2，…，n)，=>α₁，α₂，…，α_n线性无关．充分性：设α₁，α₂，…，α_n线性无关，若还有s₁α₁+s₂α₂+…+s_nα_n=β…④，①一④，得(k₁一s₁)α₁+(k₂一s₂)α₂+…+(k_n一s_n)α₄=0，由α₁，α₂，…，α_n线性无关，得k_j=s_j(j=1，2，…，n)，即④式必为①式．故表示唯一．

解析

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考研数学三

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