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  3. 设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．

admin2016-03-26  50
问题 设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案由条件有k1α1+k2α2+…+knαn=β…①．必要性．设表示唯一，若λ1α1+λ2α2+…+λnαn=0…②，①与②两端分别相加，得 (k1+λ1)α2+(k2+λ2)α2+…+(kn+λn)αn=β…③，由表示唯一，比较①与③，得kj=kj+λj(j=1，2，…，n)=>λj=0(j=1，2，…，n)，=>α1，α2，…，αn线性无关．充分性：设α1，α2，…，αn线性无关，若还有s1α1+s2α2+…+snαn=β…④，①一④，得(k1一s1)α1+(k2一s2)α2+…+(kn一sn)α4=0，由α1，α2，…，αn线性无关，得kj=sj(j=1，2，…，n)，即④式必为①式．故表示唯一．
解析
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考研数学三

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