设有n元实二次型 f(x1,x2,...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an。满足何种条件时,二次型f(x1,x2

admin2013-03-04  25

问题 设有n元实二次型
f(x1,x2,...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an。满足何种条件时,二次型f(x1,x2,...,xn)为正定二次型.

选项

答案由已知条件知,对任意的x1,x2,...,xn,恒有f(x1,x2,...,xn)≥0,其中等号成立的充分必 要条件是 x1+a1x2=0, x2+a2x3=0, xn-1+an-1xn, xn+anx1. 根据正定的定义,只要x≠0,恒有xTAx>0,则xTAx是正定二次型.为此,只要方程仅有零解,就必有当x≠0时,x1+a1x2,x2+a2x3,…恒不全为0,从f(x1,x2,...,xn)>0,亦即f是一定二次型. 而方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式 [*]=1+(-1)n+1a1a2…an≠0, 即当a1a2…an≠(-1)n时,二次型f(x1,x2,...,xn)为正定二次型.

解析
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