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设有n元实二次型 f(x1,x2,...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an。满足何种条件时,二次型f(x1,x2
设有n元实二次型 f(x1,x2,...,xn)=(x1+a1x1)2+(x1+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2, 其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a1,a2,…,an。满足何种条件时,二次型f(x1,x2
admin
2013-03-04
40
问题
设有n元实二次型
f(x
1
,x
2
,...,x
n
)=(x
1
+a
1
x
1
)
2
+(x
1
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,
其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.试问:当a
1
,a
2
,…,a
n
。满足何种条件时,二次型f(x
1
,x
2
,...,x
n
)为正定二次型.
选项
答案
由已知条件知,对任意的x
1
,x
2
,...,x
n
,恒有f(x
1
,x
2
,...,x
n
)≥0,其中等号成立的充分必 要条件是 x
1
+a
1
x
2
=0, x
2
+a
2
x
3
=0, x
n-1
+a
n-1
x
n
, x
n
+a
n
x
1
. 根据正定的定义,只要x≠0,恒有x
T
Ax>0,则x
T
Ax是正定二次型.为此,只要方程仅有零解,就必有当x≠0时,x
1
+a
1
x
2
,x
2
+a
2
x
3
,…恒不全为0,从f(x
1
,x
2
,...,x
n
)>0,亦即f是一定二次型. 而方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式 [*]=1+(-1)
n+1
a
1
a
2
…a
n
≠0, 即当a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
时,二次型f(x
1
,x
2
,...,x
n
)为正定二次型.
解析
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考研数学三
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