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  3. 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．

设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．

admin2021-08-14  9
问题 设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．
选项
答案(1)因为F(x)·G(x)=－1， [*] (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 [*] lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=ex． (ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x) →lnf(x)=－x+C2，f(x)=Ce-x 由f(0)=1，得C=1． 故有f(x)=e－x．
解析
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