设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e－x．

admin2021-08-14 21

问题设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是

的一个原函数且F(x)G(x)=－1，f(0)=1，证明：f(x)=e^x或f(x)=e^－x．

选项

答案(1)因为F(x)·G(x)=－1， [*] (2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即 [*] lnf(x)=x+C₁，f(x)=Ce^x 由f(0)=1，得C=1 故有f(x)=e^x． (ii)若F(x)=－f(x)，即f(x)=－f’(x) →lnf(x)=－x+C₂，f(x)=Ce^-x 由f(0)=1，得C=1．故有f(x)=e^－x．

解析

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