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设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=0,试证:|∫01f(x)dx|≤M.
设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=0,试证:|∫01f(x)dx|≤M.
admin
2017-07-26
51
问题
设|f’(x)|≤M,x∈[0,1],且f(0)=f(1)=0,试证:|∫
0
1
f(x)dx|≤
M.
选项
答案
因为∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f(x)d(x—c)=(x—c)f(x)|
0
1
一∫
0
1
(x—c)f’(x)dx =一∫
0
1
(x—c)f’(x)dx, 所以 |∫
0
1
f(x)dx|≤|∫
0
1
(x—c)f’(x)dx|≤∫
0
1
(x—c)||f’(x)dx ≤M∫
0
1
|x—c|dx=M[∫
0
c
(c—x)dx+∫
c
1
(x—c)dx] [*]
解析
要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小,用分部积分法建立f(x)与f’(x)定积分的关系式,然后再放缩.由f(0)=f(1)=0可知,分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c),c∈[0,1].
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考研数学三
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