2. 考研
  3. 设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=0，试证：｜∫01f(x)dx｜≤M．

设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=0，试证：｜∫01f(x)dx｜≤M．

admin2017-07-26  63
问题 设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=0，试证：｜∫01f(x)dx｜≤M．
选项
答案因为∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x—c)=(x—c)f(x)｜01一∫01(x—c)f’(x)dx =一∫01(x—c)f’(x)dx， 所以 ｜∫01f(x)dx｜≤｜∫01(x—c)f’(x)dx｜≤∫01(x—c)｜｜f’(x)dx ≤M∫01｜x—c｜dx=M[∫0c(c—x)dx+∫c1(x—c)dx] [*]
解析 要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立f(x)与f’(x)定积分的关系式，然后再放缩．由f(0)=f(1)=0可知，分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c)，c∈[0，1]．
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考研数学三

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