设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=0，试证：｜∫01f(x)dx｜≤M．

admin2017-07-26 36

问题设｜f’(x)｜≤M，x∈[0，1]，且f(0)=f(1)=0，试证：｜∫₀¹f(x)dx｜≤

M．

选项

答案因为∫₀¹f(x)dx=∫₀¹f(x)d(x—c)=(x—c)f(x)｜₀¹一∫₀¹(x—c)f’(x)dx =一∫₀¹(x—c)f’(x)dx，所以｜∫₀¹f(x)dx｜≤｜∫₀¹(x—c)f’(x)dx｜≤∫₀¹(x—c)｜｜f’(x)dx ≤M∫₀¹｜x—c｜dx=M[∫₀^c(c—x)dx+∫_c¹(x—c)dx] [*]

解析要证结论是比较积分与被积函数的导函数值之大小，用分部积分法建立f(x)与f’(x)定积分的关系式，然后再放缩．由f(0)=f(1)=0可知，分部积分应注意应用小技巧dx=d(x—c)，c∈[0，1]．

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