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设有两个非零矩阵A=[α1,α2,…,αn]T,B=[b1,b2,…,bn]T. 设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E—BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.
设有两个非零矩阵A=[α1,α2,…,αn]T,B=[b1,b2,…,bn]T. 设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E—BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.
admin
2015-07-22
74
问题
设有两个非零矩阵A=[α
1
,α
2
,…,α
n
]
T
,B=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
.
设C=E一AB
T
,其中E为n阶单位阵.证明:C
T
C=E—BA
T
—AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1.
选项
答案
由于C
T
=(E—AB
T
)
T
(E一AB
T
)=(E一BA
T
)(E一AB
T
)=E一BA
T
一AB
T
+BA
T
AB
T
, 故若要求C
T
C=E-BA
T
-AB
T
+BB
T
,则BA
T
AB
T
一BB
T
=O,B(A
T
A-1)B
T
=O,即 (A
T
A一1)BB
T
=O. 因为B≠O,所以BB
T
≠O.故C
T
C=E-BA
T
—AB
T
+BB
T
的充要条件是A
T
A=1.
解析
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考研数学三
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