设有两个非零矩阵A=[α1,α2,…,αn]T,B=[b1,b2,…,bn]T. 设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E—BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

admin2015-07-22  31

问题 设有两个非零矩阵A=[α1,α2,…,αn]T,B=[b1,b2,…,bn]T
设C=E一ABT,其中E为n阶单位阵.证明:CTC=E—BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

选项

答案由于CT=(E—ABT)T(E一ABT)=(E一BAT)(E一ABT)=E一BAT一ABT+BATABT, 故若要求CTC=E-BAT-ABT+BBT,则BATABT一BBT=O,B(ATA-1)BT=O,即 (ATA一1)BBT=O. 因为B≠O,所以BBT≠O.故CTC=E-BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1.

解析
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