设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为F(y)，求随机变量u＝X＋Y的概率密度g(u)．

admin2012-05-15 98

问题设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

而Y的概率密度为F(y)，求随机变量u＝X＋Y的概率密度g(u)．

选项

答案由题设，设F_y(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，得U＝X＋Y的分布函数为G(u)＝P｛X＋Y≤u｝＝0．3P｛X＋Y≤u ｜ X＝1｝＋0．7P｛X＋y≤u ｜ X＝2｝＝0．3P｛Y≤u－1 ｜ X＝1｝＋0．7P｛y≤u－2 ｜ X＝2｝．由已知X与y独立，则P｛Y≤u－1 ｜ X＝1｝＝P｛Y≤u－1｝且P｛Y≤u－2 ｜ X＝2｝＝P｛y≤u－2｝所以G(u)＝0．3P｛Y≤u－1｝＋0．7P｛Y≤u－2｝＝0．3F(u－1)＋0．7F(u－2)，因此U＝X＋Y的概率密度为g(u)=Gˊ(u)＝0．3f(u－1)＋0．7f(u－2)．

解析

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