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根据给出的教材片段,回答问题. 11.3.2 多边形的内角和 思考: 我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三
根据给出的教材片段,回答问题. 11.3.2 多边形的内角和 思考: 我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三
admin
2018-01-26
46
问题
根据给出的教材片段,回答问题.
11.3.2 多边形的内角和
思考:
我们知道,三角形的内角和等于180°,正方形、长方形的内角和都等于360°.那么,任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗?
要用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°,只要将四边形分成几个三角形即可.
如图11.3-8,在四边形ABCD中,连接对角线AC,则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得
∠DAB+∠B+∠BCD+∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D).
∵ ∠1+∠B+∠3=180°,
∠2+∠4+∠D=180°,
∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360°.
即四边形的内角和等于360°.
类比上面的过程,你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?
观察图11.3-9,填空:
从五边形的一个顶点出发,可以作__________条对角线,它们将五边形分为____________个三角形,五边形的内角和等于180°×__________.
从六边形的一个顶点出发,可以作__________条对角线,它们将六边形分为____________个三角形,六边形的内角和等于180°×__________.
通过以上过程,你能发现多边形的内角和与边数的关系吗? (把一个多边形分成几个三角形,还有其他分法吗?有新的分法,能得出多边形内角和公式吗?)
一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为(n-2)个三角形,n边形的内角和等于180°×(n-2).
这样就得出了多边形内角和公式:
n边形内角和等于(n-2)×180°.
例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
解:如图11.3-10,在四边形ABCD中,
∠A+∠C=180°.
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°
=360°,
∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°=180°.
这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
例2如图11.3-11,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
分析:考虑以下问题:
(1)任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?
(2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和是多少?
(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?
联系这些问题,考虑外角和的求法.
解:六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6×180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于
6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.
如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数),可以得到同样结果吗?
由上面的思考可以得到:
多边形的外角和等于360°.
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.
如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和,就是多边形的外角和.由于走了一周,所转的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
问题:
写出本节课的教学目标和教学重难点.
选项
答案
知识与技能目标:掌握多边形的内角和的计算方法,并能用内角和公式解决一些简单的问题. 过程与方法目标:通过猜想——转化——类比——归纳,经历探索多边形内角和公式的过程,进一步发展合情推理意识. 情感态度与价值观目标:通过猜想、推理等数学活动,感受数学活动充满着探索,以及数学结论的确定性,体验转化和类比的数学思想方法,提高学习热情. 教学重点:多边形的内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算. 教学难点:如何引导学生通过动手实践、观察分析、归纳总结得出多边形的内角和公式.
解析
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