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  3. 已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． 求正交变换x=Qy将f化为标准形。

已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． 求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2015-09-14  77
问题 已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．
求正交变换x=Qy将f化为标准形。
选项
答案[*] 于是得ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0． 对于λ1=2，由求方程组(2E—ATA)x=0的一个非零解，可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)T；对于λ2=6，由求方程组(6E—ATA)x=0的一个非零解， [*]
解析 用正交变换化二次型成标准形，从矩阵角度讲，就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(ATA)=r(A)可由齐次线性方程组(ATA)x=0与Ax=0同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵ATA的秩，是利用初等变换将ATA化成阶梯形来求其秩的，如果由ATA的秩为2，ATA的前2行线性无关，就认为ATTA的第3行就应该为零行，则是错误的，正确的做法是化成阶梯形。
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考研数学三

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