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已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形。
已知,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形。
admin
2015-09-14
59
问题
已知
,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(A
T
A)x的秩为2.
求正交变换x=Qy将f化为标准形。
选项
答案
[*] 于是得A
T
A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=6,λ
3
=0. 对于λ
1
=2,由求方程组(2E—A
T
A)x=0的一个非零解,可得属于λ
1
=2的一个单位特征向量[*](1,一1,0)
T
;对于λ
2
=6,由求方程组(6E—A
T
A)x=0的一个非零解, [*]
解析
用正交变换化二次型成标准形,从矩阵角度讲,就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(A
T
A)=r(A)可由齐次线性方程组(A
T
A)x=0与Ax=0同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵A
T
A的秩,是利用初等变换将A
T
A化成阶梯形来求其秩的,如果由A
T
A的秩为2,A
T
A的前2行线性无关,就认为AT
T
A的第3行就应该为零行,则是错误的,正确的做法是化成阶梯形。
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考研数学三
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