已知，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2015-09-14 87

问题已知

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案[*] 于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ₁=2，由求方程组(2E—A^TA)x=0的一个非零解，可得属于λ₁=2的一个单位特征向量[*](1，一1，0)^T；对于λ₂=6，由求方程组(6E—A^TA)x=0的一个非零解， [*]

解析用正交变换化二次型成标准形，从矩阵角度讲，就是用正交矩阵化实对称矩阵成对角矩阵。r(A^TA)=r(A)可由齐次线性方程组(A^TA)x=0与Ax=0同解、从而两个方程组的系数矩阵的秩相等而得到(这样的题目本章前面有)。求矩阵A^TA的秩，是利用初等变换将A^TA化成阶梯形来求其秩的，如果由A^TA的秩为2，A^TA的前2行线性无关，就认为AT^TA的第3行就应该为零行，则是错误的，正确的做法是化成阶梯形。

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考研数学三

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