多项式x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积 (1)b，c，d均为整数(2)bd+cd为奇数

admin2015-07-22 68

问题多项式x³+bx²+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积
(1)b，c，d均为整数(2)bd+cd为奇数

选项 A、条件(1)充分，但条件(2)不充分
B、条件(2)充分，但条件(1)不充分
C、条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分
D、条件(1)充分，条件(2)也充分
E、条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和(2)联合起来也不充分

答案C

解析条件(1)和(2)单独显然都不充分，下面将(1)和(2)联合起来考虑．假设x³+bx²+cx+d能分解为两个整系数多项式的乘积，设x³+bx²+cx+d=(x+p)(x²+ax+r)(其中p，1，r均为整数)所以x³+bx²+cx+d=x³+(p+q)x²+(pq+r)x+pr所以pr=d因为bd+cd=d(b+c)为奇数，所以d与b+c都是奇数，所以p与r必为奇数．令x=1，式(*)化为1+b+c+d=(1+p)(1+p+r)由于d与b+c都是奇数，此式左边为奇数．由于p为奇数，可得1+p为偶数，此式右边为偶数．由以上分析结果，这个等式不可能成立．所以条件(1)和(2)联合起来充分．故此题应选C．

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