小王每天到学校要爬一段有8阶的楼梯，他每次可以任跨l阶或2阶或3阶。例如，小王可以先跨3阶，再跨1阶，再跨2阶。试问小王总共有多少种方法爬这段楼梯?( )

admin2013-08-07 29

问题小王每天到学校要爬一段有8阶的楼梯，他每次可以任跨l阶或2阶或3阶。例如，小王可以先跨3阶，再跨1阶，再跨2阶。试问小王总共有多少种方法爬这段楼梯?( )

选项 A、24
B、44
C、81
D、51

答案D

解析本题需要分类讨论，8级台阶，如果每次只跨l级台阶，有1种走法，即1×8；如果每次只跨两级台阶，有1种走法，即2×4；如果只选择跨1级和2级台阶，有三大类走法：其中1×6+2×1有C₇¹=7种走法，1×4+2×2有C₆²=C₆⁴=15种走法，1×2+2×3有C₅²=C₅⁸=10种走法，三大类共计7+15+10=32种；如果只选择跨1级和3级台阶，有两大类走法：其中1×2+3×2有C₄²=6种走法，1×5十3×1有C₆⁶=C₆⁵=6种走法，两大类共计6+6=12种；如果只选择跨2及和3级台阶，有2×1+3×2，共¹C₃=C₃²=3种走法如果三种走法都必须走至少一次，则在1+2+3的基础上，有两种走法，即1+1或1+2。综上所述，共有1+1+32+12+3+2=51种走法。

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