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  3. (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则

(17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则

admin2018-07-27  52
问题 (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则
选项 A、∫-11f(x)dx＞0．
B、∫-11f(x)dx＜0．
C、∫-10(f(x)dx＞∫01f(x)dx．
D、∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx．
答案B
解析 由题设知曲线y=f(x)过点A(一1，1)，B(0．一1)和C(1，1)且是凹的(如右图)．连结AB和BC，得两条线段设这两条线段对应的函数为y=g(x)．由于y=f(x)在[一1，1]是凹的，则
    f(x)≤g(x)    x∈[一1，1]
则  ∫-11f(x)dx＜∫-10g(x)dx  (f(x)与g(x)只有三点值相等)
    由定积分几何意义知∫-10g(x)dx=0．∫01g(x)dx=0。
则  ∫-11g(x)dx=0．故应选(B)
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考研数学二

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