(17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则

admin2018-07-27 60

问题 (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则

选项 A、∫_-1¹f(x)dx＞0．
B、∫_-1¹f(x)dx＜0．
C、∫_-1⁰(f(x)dx＞∫₀¹f(x)dx．
D、∫_-1⁰f(x)dx＜∫₀¹f(x)dx．

答案B

解析由题设知曲线y=f(x)过点A(一1，1)，B(0．一1)和C(1，1)且是凹的(如右图)．连结AB和BC，得两条线段

设这两条线段对应的函数为y=g(x)．由于y=f(x)在[一1，1]是凹的，则
f(x)≤g(x) x∈[一1，1]
则 ∫_-1¹f(x)dx＜∫_-1⁰g(x)dx (f(x)与g(x)只有三点值相等)
由定积分几何意义知∫_-1⁰g(x)dx=0．∫₀¹g(x)dx=0。
则 ∫_-1¹g(x)dx=0．故应选(B)

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