设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，则f’’’(2)=__________．

admin2013-10-11 77

问题设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f^’(x)=e^f(x)，f(2)=1，则f^’’’(2)=__________．

选项

答案2e³

解析已知f(x)在x=2的某邻域内可导，f^’(x)=e^f(x)，所以f^’(x)在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)二阶可导，且f^’’(x)=[e^f(x)]^’=f^’(x)e^f(x)=e^2f(x)．
于是f^’’(x)也在x=2的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)三阶可导，且f^’’’(x)= [e^2f(x)]^’=2f^’(x)e^2f(x)=2e^3f(x)，将f(2)=1代入可得f^’’’(2)=2e³．

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